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Reproduction de tableaux complexes

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Présentation

1. Problématique générale

Il s’agit de proposer aux élèves de produire des objets gratifiants qu’ils pourront emmener chez eux. Et pour ce faire ils devront redécouvrir et mettre en œuvre un certain nombre de propriétés géométriques : une bonne occasion pour les identifier et les structurer …

2. Organisation des séquences

Pour ces situations de reproduction, le dispositif est toujours le même. Une figure géométrique décorée grand format dont les élèves ont une esquisse est fixée au tableau ; ils la complètent selon le modèle affiché. Les élèves raisonnent depuis leur place, mais ils peuvent se déplacer au tableau pour valider certaines de leurs hypothèses avec les instruments de géométrie.

Chaque séquence se déroule en trois séances espacées dans le temps, avec aussi d’éventuels prolongements. La première est une séance orale, au cours de laquelle les élèves découvrent puis décrivent la figure, et enfin imaginent la manière dont ils interviendront sur leur esquisse pour réaliser une copie conforme à leur échelle. L’objectif est de trouver, puis de mémoriser les étapes de la construction de la figure mathématique.

À chaque étape, les élèves choisissent le bon instrument, puis désignent les points de repère de l’esquisse à partir desquels le traçage se déroule.

La seconde séance est une séance géométrique de production de la figure mathématique. Ici, la principale difficulté réside dans la gestion de la classe, les savoir-faire des élèves étant très hétérogènes.

Il faut organiser des solidarités entre les élèves lents et les élèves rapides. Cette séance se conclut par le bilan mathématique de ce qui a été appris dans la séance.

La troisième séance n’est plus mathématique. Il s’agit de décorer la production géométrique par du coloriage pour la valoriser et se l’approprier, en la présentant par exemple à la famille.

Enfin suivant la figure étudiée, divers prolongements peuvent intervenir.

3. Matériel

Le matériel de géométrie classique est nécessaire (règle graduée et compas), ainsi que du papier à fort grammage.

Il est inutile d’investir dans des compas chers qui ne sont pas adaptés à l’école primaire. Plusieurs caractéristiques sont à prendre en compte :

Pour une meilleure utilisation du compas, dire aux élèves de « faire une piqûre » à la feuille de papier les invite à la transpercer délibérément avec la pointe du compas. En outre, leur proposer de faire « danser le compas » les incite à le faire tourner par la partie située au-dessus des deux branches.

Il est nécessaire enfin de préparer une esquisse destinée aux élèves et adaptée à chaque figure.

Activités

    Progression cycle 2

  1. Des tableaux à compléter, CP.
    Il s’agit de compléter un algorithme. C’est du tracé, mais cela demande de comprendre la règle en œuvre, et de l’appliquer.
  2. Ronde des tableaux, CP.
    Il s’agit de fractales à compléter. Les élèves ont un tracé à faire, chacun avec un stylo de couleur différente. Le groupe a autant de membres que le polygones à reproduire a de côtés.
  3. Rosace hexagonale, CE1.
    C’est un premier tracé de figure mathématique avec les instruments. L’activité est conjointe à l’apprentissage du maniement du compas.
  4. Vache-qui-rit, CE1.
    Il s’agit de proposer des fractales très simples, mais sur papier blanc : des carrés, des quadrilatères à diagonales perpendiculaires, et des rectangles. La solution la plus simple pour trouver les milieux est le découpage des bandes de la longueur des côtés et de les plier en deux, puis en quatre, puis en huit.
  5. Toile d’araignée, CE1.
    Même stratégie, mais avec des polygones plus complexes.

    Progression cycle 3

  1. Rosace hexagonale + Super rosace : la pendule (CE2)
    Présenter une rosace simple à six branches décorée au tableau. La faire décrire. Donner le croquis d’une rosace, et la faire reproduire individuellement à une autre échelle. La colorier à son goût. Prolonger par la super rosace et la production de la pendule. Pendule qui peut à son tour être utilisée pour la mesure du temps de classe.
  2. La ronde des tableaux (CE2)
    Il s’agit de fractales à compléter. Les élèves ont un tracé à faire, chacun avec un stylo de couleur différente. Le groupe a autant de membres que le polygones à reproduire a de côtés.
  3. La carré qui tourne (CE2)
    L’activité de reproduction classique, avec la série de carrés imbriqués les uns dans les autres.
  4. Vache-qui-rit (CE2)
    Reproduire un graphisme (carré, triangle équilatéral, pentagone, etc. ) fait en grand au tableau. Décrire, puis prévoir un algorithme de construction. Il faut commencer par le carré, car cela introduit le pliage comme moyen de construction.
  5. Rosace à cinq branches (CE2)
    Décrire, puis reproduire une rosace pentagonale. Se l’approprier par le coloriage.
  6. Tracer des toiles d’araignée (CE2)
    Reproduire une toile d’araignée faite en grand au tableau. Décrire, puis prévoir un algorithme de construction.
  7. Rosaces à 8 branches (CM1)
    C’est une situation problème classique. Au vu de la rosace à 8 branches, les élèves croient voir la rosace à 6 branches (leur su), et il faut beaucoup insister pour les convaincre qu’ils se trompent. Là il faut partager le cercle initial en huit arcs égaux, et avoir recours au pliage.
  8. Rosace à quatre branches (CM1)
    Reproduire une rosace sur carré. Différencier rosace centre et rosace côté. Inventer une super rosace sur carré. Là encore c’est une occasion de structurer le pliage, et de travailler la symétrie.
  9. Vache-qui-rit (CM1)
    Reproduire une fractale (rectangle, triangle isocèle, etc. ) faite en grand au tableau. Décrire, puis structurer, oralement, puis par écrit un algorithme de construction.
  10. Création de rosaces (CM1)
    Inventer des rosaces sur polygones réguliers. Une exposition de rosaces est placée autour de la salle de classe. Munis de bloc-notes, les élèves font leur marché, et inventent leur rosace.
  11. Recherche de quadrilatères particuliers (CM1)
    Pointage des nœuds des rosaces par transfert sur une feuille vierge. Puis recherche dans le nuage de points des sommets de quadrilatères particuliers. Emission d’hypothèses, puis essais de caractérisation.
  12. Reproduire la vache-qui-rit hexagone et pentagone (CM2)
    Reproduire le graphisme fait en grand au tableau. Décrire, puis prévoir un algorithme de construction. Pour voir les polygones construits les uns dans les autres, il faut oublier l’effet de spirale induit par le coloriage.
  13. Toile d’araignée décimale
    Cette fois la géométrie est utilisée pour s’entraîner sur la règle des zéros. Pour tracer la toile d’araignée, les élèves doivent diviser plusieurs segments en dix parties égales. Donc appliquer la règle des zéros, puis écrire le répertoire multiplicatif du résultat, et tracer les points correspondants.
  14. Inventer des vache-qui-rit (CM2)
  15. Découvrir et tracer la spirale d’Archimède
    Apprendre à maîtriser l’équerre par un tracé nécessitant la construction successive de nombreuses perpendiculaires.
  16. Agrandir une vache-qui-rit
    Apprendre à tracer la parallèle à une droite par un point.


Photos

Album "Fractales"

D'abord des activités de découverte por le cycle 2. On commence par des itinéraires à compléter. Les élèves ont le cadre ici en noir, et doivent tracer l'itinéraire ici en rouge.
Trois modalités d'une même activité. Les élèves doivent suivre un chemin, et alterner le traçage de formes sur ce chemin. D'abord cette activité, dans un carré.
Puis dans un triangle. On peut commencer par proposer de compléter l'algorithme, puis de l'inventer complétement.
Et un trapèze pour finir.
Là se met en place l'activité caractéristique de cette séquence "fractale" : il s'agit de joindre les milieux des côtés d'une forme, et d'obtenir ainsi la même forme ... en plus petit. Là, les milieux des côtes du rectangle donnent un losange. Puis les milieux des côtés du losange donnent un rectangle, et ainsi de suite. L'activité peut se mener individuellement, mais elle est beaucoup plus efficace en groupe. Il s'agit de faire tourner la figure entre quatre élèves (puisqu'il y a quatre côtés), chaque élève traçant un côté avec sa couleur de crayon ou de stylo, et ceci avec l'aide ou sous le contrôle des autres.
Le même travail se fait ici sur un quadrilatère dont la particularité est d'avoir des diagonales perpendiculaires. De plus elles sont horizontales et verticales, ce qui facilite les choses sur un quadrillage.
Maintenant le triangle. Les côtés à tracer ne sont plus horizontaux ou verticaux, mais le quadrillage permet toujours de trouver les milieux des cotés sans mesurer.
Une dernière proposition, "le diamant", toujours sur quadrillage.
Maintenant une activité de fin de cycle 2. C'est la même qu'avant, mais sans quadrillage.
La même activité sur un rectangle. le pliage peut aider à trouver les milieux.
Voilà maintenant une activité de cycle 3, toujours sur le modèle de la reproduction de tableaux complexes. Une première difficulté est de passer sur l'effet spirale qui ne tient pas à la forme mathématique, mais uniquement au choix de coloriage. L'image présentée est le modèle grand format posée au tableau par le maître. Les élèves ont le pentagone extérieur et doivent comprendre comment tracer les pentagones intérieurs. Comme dans toutes les fractales, il faut marquer les milieux des côtés des côtés et les joindre pour tracer la figure intérieure. Ici tracer les diamètres passant par les cinq sommets permet de trouver les milieux des côtés sans mesurer, ce qui simplifie beaucoup les choses.
C'est la même activité que la précédente, mais cette fois sur l'hexagone. La différence, c'est que les élèves partent d'une feuille blanche, et qu'ils devront tracer l'hexagone initial, et faire donc la figure de a jusqu'à z.
Voilà une première production d'élèves.
Une autre production d'élève.
Et une dernière ...
Voici une mise en abime du carré. Cela donne un résultat plutôt gratifiant, et que les élèves vont pouvoir faire de a jusqu'à z. Il faut commencer par produire un carré à partir d"une feuille A4. Puis plier le carré selon ses quatre axes de symétrie. Cela permet d'obtenir facilement les milieux des côtés des carrés, et donc de construire les carrés successifs. Voici une production.
Une production d'élève de la fractale rectangle-losange.
Une autre production d'élève pour la même activité.
Pour finir une autre figure obtenue en traçant des carrés décalés intérieurs. Comme toujours dans cette séquence, une fois l'astuce de tracé trouvée, la principale difficulté est de persévérer dans l'activité jusqu'au bout. C'est aussi en cela qu'elle est formatrice.
Une autre production d'élève.
Une autre version du "carré qui tourne".
Enfin une dernière technique qui permet d'obtenir encore un résultat étonnant. Voilà d'abord le résultat final. Mais comment l'obtient-on ?
Il faut partir d'une enveloppe refermée. Puis ouvrir la face de devant en créant quatre chemins d'un point central vers les quatres coins. Ces quatre chemins vont dessiner une forme quand on ouvre l'enveloppe. Et cette nouvelle forme pave le plan, car elle égale deux rectangles.
Et on obtient le motif de base qu'il suffira de reproduire, en la décalquant par exemple, pour former le pavage.




Album "Rosaces"

Pour commencer la rosace à six branches. Son apprentissage se fait en CE1, et le principal obstacle est la maîtrise du compas.Ici son programme de construction.
La superrosace à six branches. Pour la construire, il suffit de compléter en cercle entiers les arcs de cercle de la rosace à six branches.
Un exemple de valorisation de la superrosace par la production d'une pendule. D'une manière générale, il faut chercher à justifier le tracé géométrique par un résultat gratifiant que les élèves pourront s'approprier.
La première d'une série de rosaces à six branches rélisées en début de cycle 3.
Une deuxième ...
Enfin une troisième.
Et sur le même mode une rosace à huit branches.
Maintenant commence l'apprentissage des rosaces complexes, à 4, 5, 8, 7 et 12 branches. Cette activité se déroule en trois phases. D'abord une phase orale où les élèves analysent le produit fini réalisé par le maître et affiché au tableau. Puis la phase de la réalisation du tracé géométrique par les élèves. Et enfin l'appropriation individuelle par la valorisation du tracé par la décoration graphique. Ici la rosace à quatre branches proposée par le maître. C'est par le dialogue avec le maître que les élèves vont s'accorder sur la suite des tracés à effectuer. On commence par la rosace à 5 branches, au CE2.
Une autre proposition du maître. Les élèves ont seulement un cercle partagé en cinq arcs égaux. Ils comprennent facilement qu'il faut tracer des arcs de cercle de centre le sommets de ces arcs. Et que selon le rayon on peut faire deux typas de rosaces, les rosaces centre et les rosaces côté. Ici ce sont les rosaces côtés que les élèves préfèrent.
Une autre rosace côté.
Ici une autre rosace côté.
Une rosace centre.
Une autre rosace côté ...
Une première production d'élève.
Une autre.
Encore une autre, toujours en CE2.
Une autre, avec quelques irrégularités.
Encore une autre.
Et une dernière.
Commence maintenant la séquence sur les rosaces à quatre branches. Comme il fallait partir d'un partage du cercle en cinq arcs égaux pour faire la rosace à cinq branches, il faut partir d'un partage en quatre arcs égaux pour la rosace à quatre branches. Cette fois les élèves vont pouvoir le réaliser eux-mêmes par pliage. Il faut faire un premier pliage sur la feuille A4 pour obtenir un carré, puis plier selon deux axes de symétrie, les médianes ou les diagonales. Ensuite tracer un cercle de centre le point d'intesection des axes de symétrie. Il est partagé en quatre par les deux axes. Le tracé peut commencer.
Une autre rosace côté. C'est en l'analysant collectivement que les élèves comprennent comment procéder.
Cette fois la rosace centre. Elle est en général moins gratifiante pour les élèves.
Et la rosace double, à proposer en fin de séqunence.
Une dernière rosace côté.
Le tracé à partir du pliage.Ce pliage permet aussi de partager un cercle en huit et douze arcs égaux. Il est donc important de structurer cette procédure, jusqu'à l'écriture d'un scénario d'expérience.
Un autre pliage : les plis ont été repassés en pointillé pourqu'ils puissent se voir.
Une première production d'élève effectuée grace à la procédure de pliage.
Une production d'élève, réalisée avec la technique de rotation du poignet. Il s'agit de poser le poihnet sur le centre des arcs à tracer, et de faire des allers-retours rotatifs avec le marqueur.
Une autre production réalisée avec la même technique.
Une autre production, cette fois avec seulement les tracés, et pas de remplissage des surfaces intérieures.
Pour finir deux modèles destinés à l'analyse des élèves. La première ...
Et la seconde ... avant de passer à la rosace à huit branches.
Une dernière production d'élève.
Un modèle de rosace centre proposé par le maître et posée au tableau pour la réflexion des élèves.
Un modèle de la rosace à huit branches côté. Ce n'est pas celle que les élèves préfèrent.
La production d'élève, après le pliage et les tracés au compas.
Maintenant une série de productions d'élève. Donc une première.
Une autre ...
Encore une autre.
Encore une autre.
Encore une autre, dans le tracé plus que dans le coloriage.
Une production plus complexe : d'abord c'est la rosace côté, et ensuite les surfaces sont coloriées.
Une autre ...
Et la dernière.
Maintenant une autre séquence avec la rosace à douze branches. Il est très simple de découper un cercle en douze arcs égaux, par le pliage d'un carré selon ses quatres axes. Cette rosace demande un peu plus de précision, pour que tous les lobes apparaissent.
Une série de trois productions d'élèves.
Une deuxième ...
Et la dernière.
La rosace à 7 branches ... Voici l'esquisse donnée aux élèves. C'est à eux d'en déduire la suite d'actions nécessaires à la production de la rosace.
Et voici une production d'élève.
Faire photos superrosaces à six branches Faire photos enveloppe Escher
La boîte à secret légérement entrouverte.
Une autre valorisation de la superrosace ... Il faut la découper le long d'un arc judicieusement choisi ...
Voilà ce que cela donne une fois le découpage et le pliage effectué.
ET voilà le résultat aplati.
Un autre objet décoratif. Il faut découper quatre disques de couleurs différentes, et les coller comme on le voit.
Et voilà le résultat, après avoir plié les disques selon leurs diamètres, et avoir refermé l'ensemble.
Et pour finir la superrosace valorisée en pendule ...




Album "Spirales"

Une autre catégorie de formes : les spirales. On peut en construire à partir de tous les polygones réguliers. Là le modèle construit sur le carré.
Un coloriage possible sur cette spirale.
Un autre exemple.
Le modèle de la spirale construit sur l'hexagone.
Un autre spirale. Le tracé exige la construction successive d'une douzaine de prependiculaires. Comme les imprécisions se cumulent, cette activité est aussi pertinente pour développer l'auto-évaluation.




Album "Toile d'araignée"

Les toiles d'araignée sont une autre catégorie de formes, voisine des fractales. Dans un polygone particulier ou pas, on travaille sur les segments joignant un point intérieur aux sommets. En découpant de la même façon tous ces segments, et en joignant les points obtenus, on obtient une réplique du polygone initial. D'abord des activités de cycle 2.Ici un triangle sur quadrillage, ce qui facilite beaucoup le tracé.
Une autre proposition, mais cette fois sans quadrillage. Mais le choix d'utiliser les diagonales, perpendiculaires de surcroit, permet de réaliser le tracé en CE1.
Une autre proposition. Les diagonales et les médianes sont données, mais ce sont les diagonales qui permettent le tracé.
Et voici une production d'élève de CE2.
Un exemple de toile d'araignée pour le cycle 3.
Enfin la toile d'araignée décimale ... Son objectif est numérique ! Il faut diviser chacun des segments en dix parties égales. Pour cela il faut les mesurer, par exemple 12,6 cm et diviser le résultat par dix, ici 1,26. Et ensuite graduer le segment en multiples de 1,26 : 1, 26 soit 1,7 cm, puis 2 fois 1,26 , soit 2,52, c'est-à-dire 2,5 , etc. Pour finir par 10 fois 1,26 qui permet de retrouver 12,6. Refaire cela pour tous les segments aide à comprendre et retenir ce que l'on appelle la règle des zéros à l'école primaire.