Les polygones articulés

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Présentation

1. Problématique générale

Une géométrie concrète et dynamique

Il s’agit de matérialiser des polygones (surtout des quadrilatères) avec des supports articulés. On peut matérialiser les côtés, « la carapace des polygones » mais aussi les diagonales, le « squelette des quadrilatères ». Mais c’est également un outil dynamique qui permet de construire les familles de quadrilatères et donc de montrer les rapports qu’il y a entre les losanges et le carré de mêmes côtés, comme entre les parallélogrammes et le rectangle de mêmes côtés. En faisant varier l’écartement, on obtient plusieurs représentations avec le même montage, et on peut donc faire émerger les invariants que aideront à construire le concept mathématique.

Un passage immédiat à la représentation

Après beaucoup de tâtonnements, on a trouvé une solution technique qui permet un passage immédiat à la représentation. On rappelle que sans ce passage, on ne fait pas de mathématique, mais seulement de la manipulation, et qu’on bloque la conceptualisation. On fabrique des bandes de papier de 1 cm de large dans du bristol quadrillé renforcé par un fort plastifiage. On forme le polygone en plantant des punaises aux deux avant-derniers nœuds de ces bandes, et on intercale entre les polygones articulés et du carton une feuille de papier qui va être également trouée par les punaises aux emplacements des sommets. On obtient ainsi très facilement une représentation du polygone en reliant les trous des punaises. Ce résultat est un bon compromis entre plusieurs contraintes : un matériel de faible coût, facile à réaliser, et un passage immédiat à la représentation.

Un instrument pour tracer

Le tracé expert avec règle et compas est un objectif de fin de cycle. Or il faut bien apprendre le tracé et donc essayer de tracer avant de savoir tracer. Or ce matériel permet justement de tracer des figures géométriques dès le CE2. C’est donc un nouvel instrument de tracé qui va intervenir avant le tracé expert à la règle et au compas.

Matériel

On travaille avec des réglettes de carton rigide de 1 cm de large que l’on les fabrique dans du bristol quadrillé à petits carreaux que l’on a renforcé avec du plastique adhésif fort. On découpe donc dans ce matériel des réglettes de 1 cm en suivant le quadrillage. On a besoin aussi d’un support pour planter les punaises. Le plus simple est de les découper dans du carton d’emballage, mais en se plantant les punaises peuvent fuser, ce qui perd de la précision. Le mieux de le faire dans du revêtement de sol assez épais : on peut trouver des chutes à des prix cassés dans les magasins spécialisés.

Activités

Progression

Découverte des polygones articulés (CE2)
Découverte et appropriation du matériel. Apprentissage de la représentation.
Jeu de la marchande
Réalisation de triangles par la commande de longueurs de réglettes et de punaises. Attention pour un côté de 6 cm, il faut commander une réglette de 7 cm, pour avoir un carreaux à chaque extrémité pour planter la punaise.
Carrés et losanges (CE2)
Produire les quadrilatères articulés à quatre côtés égaux, trois par groupe. Les découper et les afficher au tableau. Les trier en deux familles. Trouver un critère rigoureux. Bilan et écriture dans le mémento de géométrie de la définition du carré.
Droites perpendiculaires (CE2)
Rechercher les caractéristiques communes des losanges et des carrés. Recenser oralement les différences et les ressemblances. Faire émerger la propriété des diagonales.
Rectangles et parallélogrammes (CM1)
Fabriquer des quadrilatères à côtés égaux deux à deux. Dessiner trois quadrilatères différents par polygone articulé. Trier ces quadrilatères : les rectangles, les cerfs-volants et les parallélogrammes. Recenser les différences et les ressemblances. Bilan et écriture dans le mémento de géométrie.
Droites parallèles (CM1)
Rechercher les caractéristiques communes aux rectangles et aux parallélogrammes. Faire émerger la propriété des côtés opposés. Recenser les situations éclairant différentes conceptions du parallélisme.
Traceur de parallèles (CM1)
Reprendre le polygone articulé aux côtés opposés égaux. Fixer un des côtés et tracer plusieurs polygones. En déduire une méthode pour tracer la parallèle à une droite par un point.
Bandes sécantes et parallélisme (CM2)
On commence par définir les bandes. Puis on cherche à identifier l’intersection de deux d’entre elles. On en déduit de nouvelles propriétés des quadrilatères.
Périmètre sur polygones articulés (CM1)
Construire des polygones admettant un périmètre donné. Comparer leurs aires.
Symétrie de polygones articulés
Planter un triangle en polygones articulés sur une feuille pliée en deux. Cela génère deux triangles symétriques par le pli de la feuille. Recensement des propriétés, puis traçage du symétrique avec un géomiroir, puis à main levée.
Quadrilatères articulés par le squelette (CM2)
Apprendre comment on peut tracer des quadrilatères avec deux réglettes qui se croisent. Structuration du procédé de fabrication. Recherche des quadrilatères particuliers : on les obtient si les diagonales se coupent en leur milieu.
Quadrilatères à diagonales égales (CM2)
Produire des quadrilatères dont les diagonales se coupent en leur milieu : les trier. On obtient les carrés et les rectangles. Ecrire sur des bandelettes des propriétés de ces figures, et les afficher au tableau. Faire un bilan dans le mémento.
Quadrilatères à diagonales quelconques (CM2)
Produire des quadrilatères dont les diagonales se coupent en leur milieu : les trier. On obtient les losanges et les parallélogrammes. Ecrire sur des bandelettes des propriétés de ces figures, et les afficher au tableau. Faire un bilan dans le mémento.

Photos

Album "Polygones articulés"

Cette situation fonctionne avec un matériel spécifique qui a l'avantage d'être efficace et très bon marché. Les reglettes se découpent dans du bristol quadrillé à petits carreaux renforcé par un plastifiage épais, de manière à ce qu'elle soient bien rigides. les punaises sont des punaises mémo, qui sont aisément manipulables. Puis le montage réglettes-punaises est fixé sur des morceaux de moquettes ou de carton fort, evec une feuille vierge de transfert, qui est donc transpercée par les punaises. Là est toute l'astuce de ce matériel : les trous laissés par les punaises permettent un passage immédiat à la représentation en rejoignant les trous que sont les sommets du polygone. Ici le plus petit polygone, le triangle, qui lui n'est pas encore articulé. Cela donne un procédé de construction du triangle, dès le CE2, avant que les élèves ne connaissent la construction experte avec la règle et le compas. Il faut découper les réglettes à la bonne longueur, c'est-à-dire un cm de plus que chaque côté, pour pouvoir fixer les punaises.

Là les quadrilatères a quatre réglettes égales (elles sont fournies par le maître). Les élèves doivent en faire trois quadrilatères différents, qu'ils représentent sur la feuille de tranfert.

En général les élèves font un carré, puis deux losanges. La difficulté va être de trouver un critère pour être sûrs que les carrés sont vraiment carrés. L'angl droit n'est pas un critère opérationnel, car l'équerre ne discrimine pas mieux que l'oeil. C'est finalement la mesure des diagonales qui va le mieux trancher. Un losange a des diagonales inégales, alors qu'un carré a des diagonales égales. Evidemment on ne traitera pas la question de savoir si un carré est un losange ... Par contre on demandera aux élèves de recneser les ressemblances et les différences entre carré et losanges. La propriété visée est que les diagonales sont perpendiculaires, et c'est à partir de cette situation que les droites perpendiculaires seront définies, et qu'un gabarit d'angle droit sera construit sur un double pliage de losange.

L'activité suivante : les quadrilatères obtenus avec deux fois deux réglettes égales.

Là il y a trois sortes de quadrilatères, les rectangles et les parallèlogrammes, mais aussi les cerf-volants, suivant l'ordre dans lequel on associe les réglettes. Une fois ces formes identifiées, les élèves doivent recenser les ressemblances et les différences. Et la propriété importante est le parallélisme des côtés opposés, et c'est à partir de cette situation que les droites parallèles seront définies.

On pourra aussi construire un traceur de parralèle avec des meccanos, ou de la petite quinquallerie de cuisine intégrée comme ici ... Ici le tracé de la parralèle à une droite par un point.

Enfin ce matériel peut aussi servir à tracer des quadrilatères par leurs diagonales se coupant par leur milieu.

Et voici un bilan où les quadrilatères particuliers sont compris comme des intersections de bandes. Ce bilan peut être fait sur une vitre, avec du rubande masquage pour figurer les bandes.

Maintenant des productions d'élèves. Les élèves ont maintenant une feuille percée de trous de punaises, avec laquelle ils vont "faire de la géométrie". Ils vont pouvoir mesurer à qui mieux mieux ... On va leur demander de mettre le maximum d'indications sur leurs figures. Les noms des sommets apparaissent alors "naturellement", et si ce n'est pas le cas, ce n'est pas grave.

Là il y a plusieurs montages différents : ceux donnés par le maître et d'autres découpés et construits par l'élève.

Même travail.

Des quadrilatères particuliers tracés et mesurés.

Toujours la même activité.

Deux fois deux réglettes : les trois sortes de formes.

Des quadrilatères par les diagonales.

Quatre réglettes de même longueur.

Maintenant la symétrie travaillée avec ce matériel. Ici un triangle pointé sur une feuille pliée en deux : cela forme deux triangles symétriques. Ils ont la même form, mais en "inversé".

Maintenant les élèves vont devoir tracer le symétrique du triangle avec le géomiroir. En plaçant le géomiroir sur l'axe de symétrie, son image est visible, il suffit de la repasser au crayon. Le géomiroir se trouve dans le commerce, mais un boitier de CD en plastique fait aussi bien l'affaire.

Voilà ce que cela donne avec le géomiroir.

Et maintenant le symétrique est tracé à main levée. L'élève recherche d'abord la perpendiculaire à l'axe, puis place le symétrique au jugé.

Et pour finir une photo du dispositif en action : un triangle planté sur une moquette avec une feuille blanche de transfert.