Géoplan

Présentation

1. Problématique générale

Le Géoplan est une planche à clous organisés en réseau quadrillé. En posant des élastiques autour des pointes, il est possible de produire très simplement des polygones. Il s’agit de se servir du Géoplan pour chercher à résoudre des problèmes de géométrie mais surtout pas pour chercher à reproduire avec le Géoplan ce qu’il est possible de faire sur papier ni d’y traduire un exercice déjà réalisé sur papier.

Avec les élastiques, les figures se construisent très vite et sont automatiquement parfaites si l’élastique est tendu. Plusieurs solutions sont ainsi possibles avant de passer à la reproduction sur papier pointé. Le passage de l’outil physique de manipulation à la représentation sur papier pointé, qui est ici un dessin du Géoplan, se fait très naturellement. Il convient de suivre une progression pour le Géoplan ainsi que pour l’espace de représentation. Au cycle 2, les élèves utilisent un Géoplan de 5 x 5 et, plus tard, au cycle 3 ils travaillent avec des Géoplans de 6 x 8. Pour représenter sur papier les formes construites à l’élastique, ils commencent par utiliser un cadre pointé qui est une réplique à l’échelle du Géoplan.

Puis un cadre pointé à une échelle réduite, enfin un plan pointé infini.

2. Les cinq domaines du travail sur le travail sur le Géoplan

A Les formes

Il existe deux sortes de formes : les formes figuratives (qui peuvent être interprétées comme une maison, une fusée, un bateau, une tête, une oiseau, un chien, etc.) et les formes géométriques (carrés, triangles, rectangles, losange), devant être soit structurées, soit abordées en sensibilisation. Paradoxalement, il est plus facile pour les élèves de travailler sur les formes géométriques que sur les formes libres. Utiliser le Géoplan pour inventer des formes figuratives relève d’une expertise minutieuse qui représente pour certains élèves la récompense d’un travail mathématique effectué dans la classe.

B La symétrie axiale

Le Géoplan permet d’introduire la symétrie du reflet ou symétrie du retournement, après avoir travaillé la symétrie du pliage avec les formes découpées sur papier.

C La mesure de l’aire

Le Géoplan permet un travail sur la mesure de l’aire, les figures pouvant facilement se découper en carreaux élémentaires. La recherche de tous les carrés du Géoplan 5 x 5 est une activité de sensibilisation, introduction à la notion d’aire qui sera structurée au cycle 3.

D Le repérage par un couple de coordonnées

Le Géoplan est également un espace cartésien, installant implicitement la géométrie simplifiée du quadrillage et le repérage par un couple de coordonnées. C’est ainsi qu’avec le Géoplan, tout un secteur de l’activité géométrique prend du sens et ce, particulièrement au cycle 2. Il s’ensuit très naturellement un prolongement dans un travail sur fichier.

E La géométrie mentale

À l’instar de l’ardoise dans le domaine numérique, le Géoplan s’utilise en géométrie pour faire de la « géométrie mentale ». L’enseignant(e) peut présenter des séries de petits problèmes auxquels chacun répond immédiatement avec les élastiques sur son Géoplan. La validation est immédiate. Il convient de mener les activités de géométrie mentale de manière rituelle, sur le format des activités de calcul mental.

3. Organisation

Toutes les activités de recherche se mènent en groupe de deux. Les élèves cherchent à résoudre un problème de géométrie sur le Géoplan : le premier réalise la figure à l’élastique, puis le deuxième traduit la forme définitive sur le plan pointé, chacun travaillant sous le contrôle de l’autre. Dès que la figure est traduite sur le plan pointé, le Géoplan est mis de côté pour travailler sur une représentation en mathématique.

4. Matériel

Le travail s’effectue au cycle 2 sur des Géoplans de 25 clous sur un quadrillage de 5 par 5 avec des espacements de 3 cm. Au cycle 3, il s’effectue avec des géoplans de 48 clous sur un quadrillage de 8 par 6.

Il convient de prévoir un Géoplan par élève pour la géométrie mentale, alors que les activités de recherche se mènent à deux élèves sur un Géoplan. Il est nécessaire de construire une batterie de Géoplans pour l’école.

C’est faisable par des élèves de cycle 3, mais cette activité génère un beaucoup de bruit. Il faut donc prévoir un local adapté, et de toute manière une consolidation du pointage par des adultes. Sinon, à trois ou quatre adultes, ils se fabriquent en une après-midi pour toute l’école, ce matériel étant pérenne de surcroît. Le matériau de base, des planches de coffrage découpées et poncées ou des chutes de contreplaqué, se trouve à bas prix dans les supermarchés de bricolage. Une fois les Géoplans découpés au format A4 et poncés, il suffit d’y placer une photocopie matérialisant les emplacements des clous et de pointer les clous.

Il est possible de les faire fabriquer par les élèves au cycle 3, en sachant toutefois que cela est plutôt bruyant.

Des élastiques de couleur (éviter le jaune, qui ne ressort pas sur le bois) permettent de représenter les côtés ; des perles (ou des pailles coupées) servent à identifier les sommets. Il est aussi utile de se munir de ficelle pour figurer des itinéraires ou des formes ouvertes.

Enfin, le matériel de représentation est utilisé pour l’exploitation mathématique : des cadres pointés représentant le Géoplan à l’échelle 1, puis en réduction, des feuilles quadrillées et des feuilles pointées.

Activités

Progression cycle 2

1. Découverte libre et production d’un répertoire de formes (CP)
   s’approprier l’outil Géoplan en constituant un musée de formes et en apprenant à coordonner le travail sur le Géoplan et la feuille pointée. Des formes sont proposées, puis les élèves doivent en inventer d’autres sur Géoplan, puis les traduire sur la feuille pointée.
2. Géométrie mentale, exercer sa mémoire (CP)
   L’activité se déroule selon le procédé Lamartinière. L’enseignant(e) donne des consignes que chacun réalise sur son Géoplan avec son élastique ; puis, au signal, tous montrent leur Géoplan et l’enseignant(e) organise un dialogue à partir des réponses des élèves.
3. Décomposition d’une forme libre sur le Géoplan (CP)
   l’enseignant(e) distribue à chaque élève un objet dessiné sur le Géoplan et facilement décomposable en formes simples, triangles, carrés et rectangles. Les élèves doivent décomposer la forme à main levée, puis colorier selon un code couleur signifié dans un tableau. Il y a une couleur « autre » pour les autres formes.
4. Identification du triangle (CP)
   les élèves doivent produire spontanément des triangles, puis les tracer sur un cadre pointé agrandi, puis les placer au tableau pour les analyser collectivement. La discussion identifie les triangles comme les tri-pointes à bords droits.
5. Structuration du tracé (CP)
   utiliser la règle et l’équerre pour tracer un carré, un rectangle, un triangle rectangle. Pour découper une forme tracée sur la feuille pointée, il faut la tracer correctement. . L’élastique fait le tour de la pointe sur le Géoplan, alors que le crayon doit s’arrêter dans le point dessiné du cadre pointé.
6. Carrés et rectangles (CP)
   les élèves doivent produire spontanément des carrés, puis des rectangles. Ils en ont des images mentales à partir des manipulations des blocs logiques en maternelle. Pour l’instant ils produisent des formes aux côtés horizontaux et verticaux, et c’est déjà beaucoup.
7. Itinéraire sur le Géoplan (CP)
   les élèves doivent improviser un codage de déplacement sur les nœuds d’un quadrillage dans une activité de figures téléphonées.
8. Jeu des trois pailles (CP)
   l’objectif est d’apprendre à coder les nœuds d’un quadrillage. Pour cela, à tour de rôle, les deux joueurs positionnent des pailles coupées ou des perles sur les pointes du Géoplan. Il faut aligner trois pointes pour gagner. Mais elles sont placées par un troisième élève selon un codage imposé.
9. Jeu du miroir (CP)
   deux élèves effectuent un itinéraire en miroir, chacun sur son Géoplan. Puis ils traduisent sur la feuille pointée. Si c’est juste, les feuilles coïncident posées l’une sur l’autre par transparence.
10. Le Géoplan selon le procédé Lamartinière (CE1)
    l’activité se déroule selon le procédé Lamartinière. L’enseignant(e) donne des consignes que chacun réalise sur son Géoplan avec son élastique ; puis, au signal, tous montrent leur Géoplan et l’enseignant(e) organise un dialogue à partir des réponses des élèves. L’enseignant organise une progression pour consolider par cette activité les connaissances apprises par ailleurs en géométrie.
11. Recensement de tous les carrés du Géoplan (CE1)
    cette fois les élèves doivent trouver tous les carrés du Géoplan, même les « penchés ». Puis il faudra les classer en les superposant du plus gros au plus petit, et pour certains on pourra même les décomposant en carreaux.
12. Déplacement codé sur le Géoplan (CE1)
    il s’agit de coder un déplacement avec les flèches de direction, dans une activité de figures téléphonées.
13. Transmission et reproduction de son triangle (CE1)
    là encore une activité de figures téléphonées. Il faut écrire un message pour qu’un autre reproduise sur son Géoplan le triangle qu’on a soi-même produit sur son Géoplan.
14. Tracé du reflet avec Géoplan (CE1)
    placés l’un en face de l’autre, les élèves apprennent à se déplacer « en reflet » sur Géoplan. Puis des prolongements papier-crayon de tracés de symétries sur quadrillage sont les bienvenus.

Progression cycle 3

1. Géoplan en procédé Lamartinière (CE2) : Réaliser sur géoplan des consignes données oralement par le maître.
2. Repérage du triangle sur quadrillage (CE2) : Inventer un triangle sur géoplan, puis la décrire pour que quelqu’un d’autre la redessine.
3. Identification des polygones (CE2) : Représenter sur un géoplan les éléments d’un puzzle dessiné sur un quadrillage grand format. Pour certains ce n’est pas possible : seuls les polygones peuvent être représentés sur un géoplan. Inventer des formes géométriques avec un seul élastique, et sans croiser. Classer les formes trouvées : ce sont les polygones. Les traduire un par un avec des perles.
4. Faire l’image réfléchie d’une forme (CE2) : Faire sur géoplan le reflet d’une forme dessinée au tableau. Traduire sur plan pointé, puis valider par pliage. (avec un axe vertical, puis horizontal).
5. Géoplan en procédé Lamartinière (CM1) : Réaliser sur géoplan des consignes données oralement par le maître.
6. Trouver et classer tous les rectangles du géoplan (CM1) : Chercher les rectangles du géoplan 6x8. On va facilement trouver tous les droits, et les mesurer. Mais il y a aussi des penchés. On va tous les trouver, puis les classer du plus petit au plus grand.
7. Calcul d’une aire quelconque sur géoplan (CM1) : Choisir une forme complexe sur le géoplan 6x8, et la découper en triangles, carrés et rectangle pour calculer son aire.
8. Coordonnées sur géoplan (CM1) : Inventer une forme simple sur géoplan. Rédiger ensuite un message expliquant comment on peut le reproduire. Echanger les messages entre deux groupes, et reproduire la forme. On analyse les codages utilisés par les messages les plus efficaces, et on se met d’accord sur une convention. On apprend à coder un polygone par ses sommets.
9. Quadrilatères sur géoplan (CM1) : Faire des quadrilatères à partir d’une diagonale, et les classer. Distinguer deux cas, quand la diagonale est horizontale, et quand elle est oblique à 45°.
10. Géoplan en procédé Lamartinière (CM2) : Réaliser sur géoplan des consignes données oralement par le maître.
11. Abscisses et ordonnées (CM2) : Consolidation des coordonnées cartésiennes. Apprentissage du codage expert des points par des lettres majuscules, et des polygones par leurs sommets.
12. Figures téléphonées par coordonnées (CM2) : Utilisation des coordonnées cartésiennes pour transmettre une forme figurative inventée.
13. Symétrie sur axe oblique (CM2) : Trouver le symétrique d’un triangle par rapport à un axe oblique, d’abord à 45°, puis d’axe (1 ; 2).
14. Triangles sur géoplan (CM2) : Faire des triangles à partir d’une base et les classer en trois catégorie, les isocèles, les rectangles et les autres. Distinguer des cas en fonction de l’orientation de la base.
15. Le plus grand des triangles (CM2) : Faire des triangles. Le plus petit, et le plus grand. Mais justement, quel est le plus grand ?

Photos

Album "Géoplan"

Le géoplan est un outil indispensable aux apprentissages géométriques. C'est une planche à clous, qui permet de construire des figures avec des élastiques tendus. Plusieurs domaines sont travaillés avec cet outil. : - les formes, bien sûr - l'aire de ces formes - la symétrie - le repèrage par deux coordonnées - et enfin la géométrie mentale, où le géoplan joue en géométrie le rôle que joue l'ardoise dans le domaine numérique. Ici une première forme, figurative dans ce cas.

Une maison, maintenant. Précisons qu'au cycle 2 on utilise des géoplans 5x5, et des géoplans 6x8 au cycle 3.

Une fusée.

Une première série d'objets figuratifs.

Une deuxième série. Il ne s'agit pas de faire reproduire au géoplan des objets proposés par le maître, mais de montrer des exemples, pour que les élèves en inventent d'autres. d'ailleurs tous ces objets ont été inventés par des élèves.

Une dernière série.

Des correspondances.

Une activité visant à reconnaître les formes. Il s'agit de décomposer des formes complexes en éléments simples. Et voilà le code couleur que les élèves doivent respecter.

Ici une des premières activités de construction de concept géométrique. La consigne est de faire un triangle sur son géoplan. les élèves par groupe de deux le font, le traduisent sur le papier pointé, et vont le placer au tableau. Les élèves se regroupent au tableau, et on se met à réfléchir. Les dessins sont séparés en vrais et faux triangles. Il n'y a débat qu'au sujet de quelques triangles, ceux que cette photo montrent. Ils ont "trois pointes", mais leurs "bords ne sont pas droits". Cela permet de définir le côté comme un "bord droit", puis le triangle comme une forme à trois côtés.

Maintenant une activité de CE1. Il s'agit de trouver tous les carrés du géoplan 5x5. Les carrés "droits" sont trouvés facilement. Mais il y en a d'autres, "penchés".

Voici tous les carrés possibles. On se contentera de travailler sur les carrés que les élèves vont finir par trouver. Pour être sûr que les carrés "penchés" sont bien des carrés, les découper et les poser "droits" au tableau suffit en général à convaincre. Les poser sur un quadrillage et vérifier qu'ils s'y casent bien aussi. On va commencer à les classer, ce qui revient à compter combien de carreaux chacun remplit. Pour les droits c'est facile, pour les autres, on commence à découper des demi-carrés, pour trouver par exemple le carré composé de quatre moitiés, soit 2 carreaux.

Un autre domaine, la symétrie. Ici les élèves travaillent 2 par 2, avec chacun un géoplan. Il s'agit de faire un itinéraire en miroir, d'abord l'un à côté l'un de l'autre, puis l'un en face de l'autre. Une fois les itinéraires faits étape après étape, et les itinéraires traduits sur la feuille pointée, les deux feuilles sont placées dos à dos, et doivent coïncider. Ceci pour l'auto-évaluation.

Et voilà les itinéraires traduits sur la feuille pointée.

Là, il s'agit d'une autre activité. Il s'agit de coder et décoder un itinéraire avec une série de fléches.

Une autre activité, un codage-décodage d'itinéraire. Ici avec des flèches.

Retour sur le calcul d'aire. Cette fois au cycle 3. Pour mesurer les aires sur géoplan, il faut passer par le calcul de l'aire des triangles rectangles, identifiés comme des moitiés de rectangle. ce travail n'est pas immédiat, et passe par des découpages-reconstructions.

Voilà ces découpages-recollements qui doivent être faits effectivement.

Ce puzzle a plusieurs intérêts : - d'abord il va permettre de différencier les polygones des non-polygones. Ceux que l'on ne peut pas reproduire sur géoplan ne sont pas des polygones. - ensuite les aires de toutes ses parties vont pouvoir être vraiment calculées.

Une autre activité. On part d'un élastique qui figure une base. les élèves doivent tirer l'élastique pour faire un triangle. Puis représenter les triangles produits, les placer au tableau, et les classer. Il y a trois catégories : - les triangles "au sommet bien au milieu", les triangles isocèles - les triangles avec "un bord droit", les triangles rectangles - et les autres. Une fois identifiées, on met une étiquette sur sur chaque catégorie : ce sont les définitions de l'école primaire.

Une autre activité sur le même modèle. On part cette fois d'une diagonale à 45°. Et de la même façon on fait des catégories et on pose des étiquettes : c'est comme cela que l'on définit les concepts géométriques.

Maintenant avec une diagonale horizontale.

Et enfin aveec une diagonale oblique.