« Retour

Les triangles moitié de carré

Accès rapide :

Présentation

La situation

Un carré peut se plier bord à bord de deux façons, par les diagonales ou par les médianes Par une diagonale, il donne deux triangles rectangles isocèles, et par une médiane, il donne deux rectangles. Ces trois formes : le carré et ses deux moitiés, le triangle rectangle isocèle et le rectangle entretiennent des relations très riches que l’on va exploiter dans l’apprentissage.

Le triangle rectangle isocèle a d’autre part une propriété fructueuse, il est isomorphe à sa moitié. On obtient ainsi un procédé de construction très simple d’une série de triangles rectangles isocèles de taille décroissante. On partage un carré par sa diagonale, et on obtient ainsi deux triangles rectangles isocèles. Et là se met en place un algorithme. On garde un des deux triangles, et on partage l’autre en deux, et on recommence tant que c’est possible. Et on peut aussi créer des séries correspondantes de carrés et de rectangles.

Présentation des activités

Il y a deux sortes d’activités :

Avec les formes découpées dans des matériaux solides se mettent en place les activités de reproduction, dans de multiples modalités, ce qui permet de les adapter au niveau des élèves de la « première maternelle » : reproduire un agencement par superposition (la validation est alors simultanée à l’action), reproduire un agencement sur un croquis adjacent au modèle, reproduire un agencement dans un espace fermé adjacent au modèle, reproduire un agencement sur croquis délimitant les formes, le modèle étant une photo placée verticalement, reproduire un agencement sur un espace délimité, le modèle étant une photo placée verticalement , et enfin reproduire un agencement sur croquis du modèle.

Comme souvent pour un outil, on commence à l’utiliser dans une situation fonctionnelle, et quand on en maîtrise le fonctionnement on essaie d’en comprendre le mode de construction, puis de le produire. Les élèves découvriront ainsi le procédé de fabrication des triangles rectangles isocèles, et s’organisera alors l’apprentissage du pliage-découpage et le passage à la représentation pour « la seconde maternelle ».

A partir de ce moment, les activités de reproduction et de représentation pourront être croisées, ce qui multiplie les possibilités.

Les formes seront découpées dans du papier par les élèves, et pourront être utilisées comme des vignettes pour garder la mémoire d’un agencement réalisé avec les formes plastiques. Elles seront ainsi une première transition vers la représentation. Une seconde représentation s’obtient par traçage autour des triangles matériels, une troisième étant la représentation à main levée.

On peut travailler sur trois types d’agencements de triangles : des objets figuratifs, des frises et des pavages. On ne pourra pas imposer aux élèves des objets figuratifs. Il faudra au contraire repérer les objets qu’ils produiront spontanément dans la phase de découverte, et les introduire au fur et à mesure dans la culture de la classe. On pourra être plus normatif pour les frises et les pavages, mais bien sûr au rythme des élèves.

Deux objets figuratifs seront particulièrement travaillés : le sapin pour travailler implicitement le rangement du plus petit au plus grand, et le papillon pour travailler implicitement la symétrie.

Matériel

D’un point de vue pratique, on a intérêt à travailler avec deux types d’objets : les formes découpées dans des matériaux solides, alvéolaire, plastique, carton plume ou PVC expansé, et les mêmes découpées dans du papier de couleur. Pour les formes en dur, on part d’un carré de 20 cm de côté qu’on partage en deux, et on obtient des triangles rectangles isocèles d’aires moitié, et de côté 14,1 cm, puis 10 cm, puis 7 cm, puis 5 cm. C’est l’alvéolaire qui se révèle le matériau le mieux adapté. On peut en acheter à bon marché chez des imprimeurs, il sert à réaliser des publicités provisoires de chantier. Il est solide, et se découpe facilement au cutter ou au massicot. On a intérêt à colorer un des côtés, de manière à avoir des triangles bicolores, blanc d’un côté et coloré de l’autre. Pour les colorer, le plus simple est de les peindre avec de la peinture en bombe. Il est utile de produire ainsi trois séries de triangles bicolores : blanc d’un côté, et bleu, rouge ou vert de l’autre.

Pour les formes papier pour des raisons pratiques, on utilise du format A4, et on part cette fois d’un carré de côté 21 cm.

Activités

    Progression cycle 1
    Première maternelle
    Dans cette première maternelle, les élèves travaillent avec les objets matériels qu’ils produisent et reproduisent.

  1. Appropriation libre
    Il s’agit de comprendre que les triangles peuvent s’assembler pour produire des objets figuratifs et de prendre du plaisir à manipuler ces formes.
  2. Le sapin
    Les élèves doivent faire un sapin avec les triangles verts. Il est bon qu’il y ait un sapin référent affiché dans la classe. C’est un exercice implicite sur le rangement et sur la symétrie.
  3. Constitution d’un répertoire d’objets figuratifs
    Il faut inventer des objets personnels pour en faire un musée d’objets. Lemaître fait des photos des objets valisés par le groupe.
  4. Module reproduction
    1. Reproduire un agencement par superposition uniforme (dans ce cas, il n’y a qu’une couleur par taille)
    2. Reproduire un agencement sur un schéma par superposition (la validation est simultanée à l’action)
    3. Reproduire un agencement sur un croquis adjacent au modèle
    4. Reproduire un agencement dans un espace fermé adjacent au modèle
    5. Reproduire un agencement sur croquis délimitant les formes, le modèle étant une photo placée verticalement
    6. Reproduire un agencement sur un espace délimité, le modèle étant une photo placée verticalement
    7. Jeu oral de la marchande
    8. Reproduire un agencement sur croquis du modèle
  5. Faire des chemins
    Il s’agit de travailler sur des algorithmes : les compléter, les reproduire, voire en inventer.
  6. Faire le carrelage de la salle de bain
    Il s’agit de travailler sur des pavages. Pour cela le maître fournit des quadrillages à la dimension des carrés reconstituer. Ensuite des pavages plus complexes peuvent être proposés.
  7. Soigner les papillons
    Des papillons incomplets sont proposés. Ils ne peuvent plus voler. Les élèves doivent les compléter pour qu’ils puissent s’envoler. C’est un travail implicite sur la symétrie.

    8. Seconde maternelle
    Là les élèves vont apprendre à travailler sur des formes découpées. Il s’agit de représentation.

  8. Module découverte du pliage-découpage
    1. Guirlande de fanions de triangles pliés le long d’un fil
    2. Découpage, puis reconstruction des deux carrés en alternant les couleurs (Cf l’album pliage-découpage)
    3. Produire des carrés avec les formes plastiques
    4. Algorithme de pliage-découpage
    5. Classement des formes dans boîtes à casier
    6. Représentation d’agencement de triangles en plastique par le collage de gommettes en papier
  9. Module reproduction / représentation
    1. Reproduire un agencement
    2. Constitution d’un répertoire d’objets figuratifs
    3. Représenter un agencement par collage de gommettes, le modèle étant une photo
    4. Jeu oral de la marchande
    5. Représenter un agencement par traçage sur gabarit puis coloriage
    6. Représenter un agencement pour le faire reproduire
  10. Fabriquer un papillon bicolore
    C’est une autre façon de reconstituer les deux carrés initiaux. Les élèves peuvent refaire cette activité à intervalles réguliers pour constater leurs progrès.
  11. Finir un carré après avoir tiré au sort deux triangles
    Il s’agit de faire commande aux élèves les triangles manquants repérés par leur taille.
  12. Soigner le papillon
    Des papillons incomplets sont proposés. Ils ne peuvent plus voler. Les élèves doivent les compléter pour qu’ils puissent s’envoler. C’est un travail implicite sur la symétrie.
  13. Algorithme : chemins, couronnes des rois et bandeau de Noël
    Faire des algorithmes binaires : les compléter, les reproduire, les inventer, les adapter au besoin.
  14. Agrandir un modèle
    Les carrés sont classés par taille repérées par un numéro. Il s’agit d’agrandir un modèle en respectant la couleur et en agrandissant chaque partie d’un numéro.
  15. Production d’un jeu des 7 familles
    Trois tailles et deux couleurs pour chaque famille : on produit les cartes, et après on joue.
  16. Fabriquer un mobile
    Chercher le point d’équilibre de suspension de triangles.


Photos

Album "Modèles"

Une série de triangles découpés.
Une série de modèles à reproduire. Il y aura des frises, des pavages et des objets figuratifs. Il s'agit là d'une première frise.
Trois autres frises.
Encore deux autres.
Maintenant une série de pavages (pour les élèves, il vaut mieux dire carrelage ...)
Un autre carrelage.
Encore un autre.
Un dernier, ce sont les carrés recomposés.
Maintenant quelques objets figuratifs. Ils sont donnés à titre indicatif, les élèves étant tout-à-fait capables d'en inventer, ce qui est beaucoup plus gratifiant ... et formateur.
Trois autres ...
Encore trois autres.
Et deux derniers.




Album "Pliage / découpage"

Il s'agit de Travailler sur ce carré 21x21.
On trace une diagonale.
On peut aussi plier coin sur coin pour obtenir cette diagonale.
On découpe selon cette diagonale.
On obtient deux triangles rectangles isocèles. cette forme a la particularité d'être isomorphe à sa moitié. C'est ce qui permet de découper une série de triangles isomorphes et de plus en plus petits. Pour commencer on réserve un des deux triangles et on plie le second coin à coin.
On découpe ce second triangle.
La machine est lancée ! On réserve un des deux triangles obtenu, et on plie coin à coin le second.
On découpe, et ainsi de suite ...
Et on regroupe les morceaux.




Album "Productions"

Dans un pemier temps (PS et partie de MS),les élèves travaillent avec les formes découpées dans des matériaux solides, alvéolaire, plastique, carton plume ou PVC expansé. C'est ce qui est présenté dans cet album. Ici le premier objet que les élèves inventent très vite, une cabanne.
Un deuxième objet évident,surtout si les objets sont verts : le sapin.
Un troisième objet : un oiseau.
Un papillon.
Un autre papillon.
Un dernier objet : un bonhomme.
Voici maintenant des carrelages réalisés sur des quadrillages.
Un autre pavage : la recomposition du carré.
Puis les frises.Une progression peut être mise en place : reproduction à l'identique sur un quadrillage, reproduction à l'identique sur un espace libre, puis prolongement de l'algorithme.
Une autre frise.
Encore une autre frise.
Une autre.
Et une dernière plus difficile, car elle comporte une deuxième difficulté, elle décroit.
Et une montagne ...
Et un bateau oublié ...
Et un dernier pavage.




Album "Reproductions en papier"

Dans un deuxième temps la production de ces objets peut se faire avec des carrés découpés dans du papier. Il s'agit alors de représentation que les élèves peuvent s'approprier, et plus d'un matériel fourni par l'enseignant.
Première recomposition après un découpage effectué par l'élève.
Le deuxième carré recomposé.
Une autre façon de recomposer les deux carrés.
Le sapin : une façon de travailler le rangement dès la MS.
Une production d'élève en GS : un serpent hypnotiseur !
La cabanne avec changement d'échelle.
Une cocinnelle faite en GS.
Une autre cocinnelle.
Un bateau sur la mer.
Une autre simple recomposition.
Une recomposition GS ... après trois mois de progrés.
Une autre façon de recomposer le carré.
Une autre recomposition en papillon.
La même avec une amélioration de détail.
Une recomposition tricolore.
Une recomposition plus difficile, tricolore, et avec agrandissement (CP).
Une activité de figures téléphonées (CP).
Un autre exemple de figures téléphonées.
Maintenant une série d'objets figuratifs particulièrement réussis. Ici un cerf-volant.
Un chat ...
Des masques.
Une autre tête ...
Un mandarin chinois.
Le petit chaperon rouge.
Un papillon très complexe ...
Une sorcière
Un gros serpent (1 m de long !) qui mange un petit poisson. Mais le gros serpent va être mangé de l'intérieur par le petit poisson. Bien fait !
Le même motif agrandi plusieurs fois. Réussir cette activité demande de l"observation et de la méthode ...
Pour finir trois cartes d'un jeu des sept familles. Ici le fils et la fille de la famille poisson.
Puis le père et la mère.
Et le grand-père et la grand-mère.
Et voilà les sept familles.